حل أسئلة مادة الرياضيات أول ثانوي بالصور

[خريج بكالوريوس]

ك ن ق مثلث قائم الزاوية في ك ، ك هـ شعاع عمودي علي ن ق قطعة ويقطعها في هـ
رسمت دائرة مركزها هـ ، طول نصف قطرها ك هـ ، قطعت المستقيم ك ن ، والمستقيم ك ق
في د ، ي علي الترتيب
اثبت أن : النقط د ، هـ ، ي علي استقامة واحدة
: المثلث ك ن ق يشابه المثلث ك ي د وبين ان الشكل ن د ق ي دائري
: ن هـ × هـ ق = (د ي)^2 / 4





أوجد معادلة الدائرة التي تمس محور الصادات في النقطة ( 0 ، - 6 )

وتمر بالنقطــــــة ( 2 ،3 )






ما هي معادلة الدائرة الواقعة في الربع الأول والمحصورة بين محور السينات

وبين المستقيم ص = ( جذر 3 ) س و طول نصف قطرها 6 وحدات

اذا كانت مساحه سطح مثلث متساوى الاضلاع = مساحه سطح مربع
اثبت ان محيط المثلث > محيط المربع



نفرض أن :

طول ضلع المثلث المتساوى الأضلاع = ل
طول ضلع المربع = ع

محيط المثلث = 3 ل
مساحة سطح المثلث = 1/2*ل*ل*جا60 = 0.433*ل^2

محيط المربع = 4 ع
مساحة سطح المربع = ع^2

0.433*ل^2 = ع^2

ومنها : ع = 0.658*ل

محيط المربع = 4*ع = 4*0.658*ل = 2.632*ل

وحيث أن : محيط المثلث = 3*ل

فيكون : محيط المثلث > محيط المربع

تــــــــــابــــــــــــــــــع

[خريج بكالوريوس]

أوجد قطر نصف الدائرة المرسومة داخل المثلث أ ب ج بالشكل

أ ب جـ مثلث فيه أ ( 2 ، 5 ) ، ب ( 1 ، 8 ) ، جـ ( 5 ، 6 )
أوجد معادلة المنصف الداخلى للزاويه ب

للتحقق :

ظا2هـ = (م1 - م2)م(1 + م1*م2) = 1
2هـ = 45 درجة
هـ = 22.5 درجة
ظاهـ = 0.4142

ظاهـ = (م1 - م)/(1 + م1*م) = 0.4142
حيث م = ميل المنصف = - 1.153

لاثبات أن نقطة د تقسم الضلع ب ج من الداخل :

معادلة المنصف : ص = - 1.153 س + 9.15 ... ... ... (1)
معادلة الضلع أ ج :
(6 - 5)/(5 - 2) = (ص - 5)/(س - 2)
3 ص = س + 13 ... ... ... ... ... ... ... ... ... (2)
بحل المعادلتين (1) ، (2)
نقطة د : ( 3.247 ، 5.415 )
وهى تقع على أ ج وتقسمه من الداخل حيث أ : ( 2 ، 5 ) ، ج : ( 5 ، 2 )











تــــــــــابــــــــــــــــــع

[خريج بكالوريوس]

ل^2 + ع^2 = 3^2 ... ... ، ومنها : ل^2 = 9 - ع^2

(ص - ل)^2 + ع^2 = 5^2 ... ، ومنها : (ص - ل)^2 = 25 - ع^2

(س - ع)^2 + ل^2 = 10^2 ... ، ومنها : (س - ع)^2 = 100 - ل^2 = 91 + ع^2

(س - ع)^2 + (ص - ل)^2 = (م د)^2

(م د)^2 = 91 + ع^2 + 25 - ع^2 = 116

م د = جذر116 = 2*جذر29 = 10.77 سم

سأقوم بإثبات قاعدة لحساب النسبة بين مساحتى مثلثين النسبة بين أضلاعهما غير متساوية




ولنقوم بتطبيقها فى حل التمرين












الحل بالتفصيل :

العمل :

نمد المنصف د ص للزاوية أ د ب ليقابل محيط الدائرة فى م
نمد المنصف د س للزاوية أ د ج ليقابل محيط الدائرة فى هـ
نصل م ج ، هـ ب

الاثبات :

القوس ب د = القوس د ج
فتكون الزوايا المحيطية لكلا القوسين متساوية
زاوية د ب ج = زاوية د ج ب = زاوية ب أ د = زاوية ج أ د
إذن : أ د منصف للزاوية ب أ ج

زاوية أ ب ج = زاوية أ د ج ... ، ( محيطيتان للفوس أ ج )
زاوية أ د هـ = زاوية ج د هـ ، حيث هـ د منصف للزاوية أ د ج
زاوية أ ب هـ = زاوية أ د هـ ... ، ( محيطيتان للقوس أ هـ )
زاوية ج ب هـ = زاوية ج د هـ ... ، ( محيطيتان للقوس ج هـ )
إذن : هـ ب منصف للزاوية أ ب ج

وبالمثل
زاوية أ ج ب = زاوية أ د ب ... ، ( محيطيتان للقوس أ ب )
زاوية أ د م = زاوية ب د م ، حيث م د منصف للزاوية أ د ب
زاوية أ ج م = زاوية أ د م ... ، ( محيطيتان للقوس ا م )
زاوية ب ج م = زاوية ب د م ... ، ( محيطيتان للقوس ب م )
إذن : م ج منصف للزاوية أ ج ب

منصفات الزوايا للمثلث أ ب ج تتقاطع فى نقطة و
( ملحوظة : و لا تنتمى الى القطعة المستقيمة ص س )

نصل ص و ، س و

فى المثلث ص ب ب1
زاوية ص ب1 ب خارجة عن المثلث ب1 ب د
زاوية ص ب1 ب = زاوية ب1 د ب + زاوية ب1 ب د
زاوية ب ص ب1 خارجة عن المثلث د ص أ
زاوية ب ص ب1 = زاوية ص د أ + زاوية ص أ د
وحيث : زاوية ب1 د ب = زاوية ص د أ ، زاوية ب1 ب د = زاوية ص أ د
إذن :
زاوية ص ب1 ب = زاوية ب ص ب1
زاوية ب ص ب2 = زاوية ب ب1 ب2 = 90 درجة
ويكون : ب و عمودى على د ص

المثلثان د ب ب2 ، د و ب2 متطابقان
حيث : د ب2 مشترك ، زاوية ب د ب2 = زاوية و د ب2 ، زاوية د ب2 ب = زاوية د ب2 و = 90 درجة
فيكون : ب ب2 = ب2 و

المثلثين ب ص ب2 / و ص ب2 متطابقين
حيث : ص ب2 مشترك ، ب ب2 = ب2 و ، زاوية ب ب2 ص = زاوية و ب2 ص = 90 درجة
فيكون : زاوية ب ص ب2 = و ص ب2

وحيث : زاوية ب ص ب2 = زاوية ب ب1 ص
إذن : زاوية و ص ب1 = زاوية ب ب1 ص
وهما زاويتان متساويتان بالتبادل للقاطع ص ب1 للقطعتين المستقيمتين ص و ، ب ج
ويكون : ص و يوازى ب ج

وأترك للطالب الاستكمال بنفس الخطوات

حيث
زاوية س ج1 ج خارجة عن المثلث د ج1 ج فتساوى ...
زاوية ج س ج1 خارجة عن المثلث أ س د فتساوى ...
وهكذا لاستكمال الخطوات للوصول الى أن س و توازى ج ب

فيكون : ص و س على استقامة واحدة وتوازى ب ج

أ ب ج د مستطيل ، على الضلعين [أ ب] و [ج د] نضع على التوالي النقطتين س وَ ص بحيث يكون الرباعي أ س ج ص معيّن

أحسب طول الضلع [س ص] ، إذا كان : أ ب = 16 وَ ب ج = 12

المثلثان أ ج هـ ، ب ج د متطابقان ، ( ضلعان وزاوية محصورة )
حيث :
أ ج = ب ج
ج هـ = ب د
زاوية أ ج هـ = زاوية ب ج د

وينتج أن :
زاوية ج أ هـ = زاوية ج ب د
زاوية ج هـ أ = زاوية ج د ب

وبذلك تكون :
زاوية ج أ م = زاوية ج ب م ــــــــ> الشكل أ ب م ج رباعى دائرى
زاوية ج هـ م = زاوية ج د م ـــــــ> الشكل د هـ م ج رباعى دائرى

تــــــــــابــــــــــــــــــع

[خريج بكالوريوس]

أب جـ د متوازى اضلاع فية أ(5, 3), ب(3, 2) ,جـ (0 ,2) فاوجد احداثيات نقطة د




نفرض أن احداثى نقطة د هى : س ، ص

ميل ب أ = [3 - 2]/[5 - 3] = 1/2
ميل ج د = [ص - 2]م[س - 0] = (ص - 2)/س
وحيث ميل ج د = ميل ب أ
(ص - 2)/س = 1/2
2 ص - 4 = س

طول ب أ = جذر[(5 - 3)^2 + (3 - 2)^2] = جذر5
طول ج د = جذر[(س - 0)^2 + (ص - 2)^2 = جذر[س^2 + ص^2 - 4 ص + 4]
وحيث طول ج د = طول ب أ
وبالتعويض عن قيمة س بدلالة ص
(2 ص - 4)^2 + ص^2 - 4 ص + 4 = 5
5 ص^2 - 20 ص + 15 = 0
ص = 3 أو ص = 1
وحيث : 2 ص - 4 = س
عند ص = 3 ــــــــــــــــ> س = 2
عند ص = 1 ــــــــــــــــ> س = -2
فتكون نقطة د : إما (2 ، 3) أو (- 2 ، 1)

فى حالة د : (2 ، 3)
ميل ج د = (3 - 2) / (2 - 0) = 1/2
فى حالة د : (- 2 ، 1)
ميل ج د = (1 - 2) / (2 - 0) = - 1/2
وحيث أن ميل ج د = ميل ب أ = 1/2
فتكون النقطة د : (2 ، 3)

لتحقيق الشرطان الآخران : أ د يساوى ويوازى ب ج

طول ب ج = جذر[(0 - 3)^2 + (2 - 2)^2] = جذر9 = 3
ميل ب ج = (2 - 2)/(0 - 3) = 0 ... موازى لمحور السينات

عند د : (2 ، 3)
طول أ د = جذر[(2 - 5)^2 + (3 - 3)^2] = جذر9 = 3
ميل أ د = (3 - 3)/(2 - 5) = 0

عند د : (- 2 ، 1)
طول أ د = جذر[(- 2 - 5)^2 + (1 - 3)^2] = جذر 53
ميل أ د = (1 - 3)/(- 2 - 5) = 2/7

فتكون النقطة د التى تحقق الشروط هى : (2 ، 3)

تنويه :

يوجد للنقطة د ثلاث احتمالات :

الأولى : (2 ، 3)
تحقق الشروط الأربعة ، وتكون هى الرأس الرابع لمتوازى الأضلاع

الثانية : (- 2 ، 1)
وهى تحقق الشرطان الأولان فقط :
"ج د توازى وتساوى ب أ" ، إلا فى حالة اعتبار الاتجاهات حيث تقع على الجانب الآخر للضلع ب ج
وهى الموجودة فى طريقة الحل السابقة حيث ابتدأنا بتحقيق الشرطان الأولان

الثالثة : (8 ، 3)
وهى تحقق الشرطان الأخيران فقط :
"أ د توازى وتساوى ب ج" إلا فى حالة اعتبار الاتجاهات حيث تقع على الجانب الآخر للضلع ب أ
وهى تنتج فى حال الحل بالبدء فى تحقيق الشرطان الأخيران


حل بسيط فى مستوى طالب المرحلة الاعدادية :

قطرى متوازى الأضلاع أ ج ، ب د يتقاطعان فى نقطة تنصف كلا منهما

احداثى نقطة تقاطع القطران :

من حيث أنها منتصف أ ج : [(5 + 0)/2 ، (3 + 2)/2] = [5/2 ، 5/2]

من حيث أنها تنصف ب د : [(3 + س)/2 ، (2 + ص)/2]

إذن :

5/2 = ( 3 + س)/2 ، ومنها س = 2
5/2 = (2 + ص)/2 ن ومنها ص = 3

فتكون نقطة د هى : (2 ، 3)




















من المعلوم أن من خصائص المثلث المتساوى الأضلاع ما يلى :

زوايا رءوسه متساوية ، وقياس كل منها = 60 درجة

الأعمدة المقامة من رءوس المثلث على الأضلاع المناظرة تنصفها ، وفى نفس الوقت تنصف زاوية الرأس

وبالتالى تكون منصفات زوايا الرأس هى ارتفاعات المثلث وفى نفس الوقت هى منصفات الأضلاع

وعلى ذلك تكون نقطة التقاطع واحدة للجميع وهى مركز المثلث

ومن المعلوم أن مركز الدائرة الداخلية للمثلث هى مركز تقابل منصفات زواياه ، ويكون البعد بين مركز الدائرة وأضلاع المثلث متساوية وتساوى نصف قطر الدائرة الداخلية

مركز المثلث المتساوى الأضلاع يقسمه الى ثلاث مثلثات متطابقة : م أ ب ، م ب ج ، م أ ج


ولحل التمرين ، توجد عدة طرق :


باستخدام النتيجة (مباشرة ):
نصف قطر الدائرة الداخلية لأى مثلث = مساحة المثلث ÷ نصف محيط المثلث

مساحة المثلث = 1/2*(ب ج)*(أ د) = 1/2*(ب ج)*(أ ب).جا60

= 1/2*12*12*جذر3/2 = 36 جذر3 سم^2

نصف محيط المثلث = [(أ ب) + (ب ج) + (ج أ)] ÷ 2 = 18 سم

نق = 36 جذر3 / 18 = 2 جذر3 سم


باستخدام برهان النتيجة السابقة فى حل التمرين :

العمل :
نصل مركز الدائرة الداخلية ( وهى مركز المثلث المتساوى الأضلاع ) برءوس المثلث : م أ ، م ب ، م ج

ينقسم المثلث أ ب ج الى ثلاثة مثلثات داخلية متطابقة : م أ ب ، م ب ج ، م ج أ

قاعدة كل مثلث = طول ضلع المثلث
ارتفاع المثلث = نصف قطر الدائرة الداخلية = نق

مساحة المثلث أ ب ج = 3*مساحة أحد المثلثات الداخلية

مساحة المثلث = 1/2*قاعدة المثلث*ارتفاعه

مساحة المثلث أ ب ج = 1/2*(ب ج)*(أ د) = 36 جذر3

مساحة أحد المثلثات الداخلية المتطابقة = 1/2*12*نق = 6 نق

إذن : 36 جذر3 = 3*6*نق ـــــــــــــــ> ومنه نق = 2 جذر3 سم


باستخدام خصائص المثلث الثلاثينى الستينى ، والنسب المثلثية :

المثلث م أ و :

أ و = 1/2*(أ ب) = 6 سم
م و = نق
زاوية م أ و = نصف زاوية الرأس أ = 30 درجة

م و تقابل الزاوية 30 درجة فى المثلث القائم م أ و
فيكون : م أ = 1/2 الوتر م أ

م أ = 2*نق

جتا(م أ و) = و أ / م أ
جتا30 = 6 / 2 نق = 3 / نق = جذر3 / 2
جذر3*نق = 6 = 3*2 ـــــــــــــــــــ> ومنها : نق = 2 جذر3 سم


باستخدام خصائص المثلث الثلاثينى الستينى ، ونظرية فيثاغورث :


المثلث م أ و :

أ و = 1/2*(أ ب) = 6 سم
م و = نق
زاوية م أ و = نصف زاوية الرأس أ = 30 درجة

م و تقابل الزاوية 30 درجة فى المثلث القائم م أ و
فيكون : م أ = 1/2 الوتر م أ

م أ = 2*نق

(م أ)^2 = (و أ)^2 + (م و)^2

(2*نق)^2 = (6)^2 + (نق)^2

3*نق^2 = 6^2

جذر3*نق = 6 = 3*2 ـــــــــــــــــــ> ومنها : نق = 2 جذر3 سم











أ ب ج د متوازي أضلاع وَ هـ نقطة على امتداد ب ج

المستقيم (أ هـ) يقطع [ب د] في س و يقطع [ج د] في ص

برهن أن :

هـ س^2 - أ س^2 = هـ س×هـ ص

نفرض أن طول ضلع المربع = 2 ل

نرسم محورين متعامدين من منتصفات أضلاع المربع يتقاطعان فى مركز المربع و ، ويقسم المربع الى 4 مربعات صغيرة متطابقة - محورى التماثل

الجزء المحصور للنجمة فى كل ربع متماثلة

تم تكبير ربع المربع وبداخله الجزء المحصور من النجمة

العمل :

نصل ب ج
نقيم من نقطة م عمودين : م ى على و ب ، م ف على و ج

خطوات الاثبات :

ج د ، ب هـ متوسطان فى المثلث ج ب و ويتقاطعان فى نقطة م التى تقسم كل متوسط بنسبة 2 : 1 من جهة رأس المثلث

إذن :

ب م / ب هـ = ج م / ج د = 2/3

المثلثان القائمان الزاوية و : ب هـ و ، ج د و متطابقان ،

وينتج أن :

ب هـ = ج د ، زاوية و ب هـ = زاوية و ج د

ب م= 2/3 ب هـ ، ج م = 2/3 ج د ـــــــــ> ب م = ج م

المثلثان القائمان الزاوية ب م ى ، ج م ف متطابقان
حيث ب م = ج م ، زاويتى ى ، ف قائمتين ، زاوية م ب ى = زاوية م ج ف

وينتج أن : م ى = م ف ــــــــــ> الشكل م ى و ف مربع

فى المثلث ب و هـ : م ى توازى القاعدة هـ و ، ب م / ب هـ = 2/3

إذن

م ى / هـ و = 2/3 ــــــــــــ> م ى = 2/3*ل/2 = ل/3

الجزء من النجمة المحصور داخل ربع المربع يتكون من :

المربع م ى و ف + المثلث ب م ى + المثلث ج م ف

مساحة المربع م ى و ف = (ل/3)^2 = ل^2 / 9

مساحة المثلث ب م ى = مساحة المثلث ج م ف = 1/2*2ل/3*ل/3 = ل^2 / 9

مساحة الجزء المحصور للنجمة = ل^2 /9 + 2*ل^2 /9 = ل^2 /3

مساحة النجمة = 4*ل^2 /3

مساحة الربع للمربع = ل^2

مساحة المربع = 4*ل^2

مساحة النجمة الى مساحة المربع = 1/3



تــــــــــابــــــــــــــــــع

[خريج بكالوريوس]

أ ب ج د متوازي أضلاع مركزه هـ .

لتكن النقط : س ; ص ; ع ; ل تنتمي على التوالي للأضلاع [ا ب] ; [ب ج] ; [ج د] ; [د ا]
بحيث : ا س = ب ص = ج ع = د ل

ــ بين أن الرباعي س ص ع ل متوازي أضلاع مركزه هـ .

تــــــــــابــــــــــــــــــع

[خريج بكالوريوس]

11-30-2009, 02:37 PM

تــــــــــابــــــــــــــــــع

[كوثر1]

يعطيكم الله الف عافيه انشالله

[فائزة محمد علي مسعود]

الله يعطيك العافية لا خلا ولاعدم
تقبل مروري

[قروشه شوعي]

ششششششششششششككككرا لكم بسسس ماستفدت شششششي

[احمد الخلف]

جزاكم الله كل خير