حل أسئلة مادة الرياضيات أول ثانوي بالصور
 

ك ن ق مثلث قائم الزاوية في ك ، ك هـ شعاع عمودي علي ن ق قطعة ويقطعها في هـ
رسمت دائرة مركزها هـ ، طول نصف قطرها ك هـ ، قطعت المستقيم ك ن ، والمستقيم ك ق
في د ، ي علي الترتيب
اثبت أن : النقط د ، هـ ، ي علي استقامة واحدة
: المثلث ك ن ق يشابه المثلث ك ي د وبين ان الشكل ن د ق ي دائري
: ن هـ × هـ ق = (د ي)^2 / 4


http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_...ondary%201.JPG


أوجد معادلة الدائرة التي تمس محور الصادات في النقطة ( 0 ، - 6 )

وتمر بالنقطــــــة ( 2 ،3 )



http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_...20equation.JPG


ما هي معادلة الدائرة الواقعة في الربع الأول والمحصورة بين محور السينات

وبين المستقيم ص = ( جذر 3 ) س و طول نصف قطرها 6 وحدات



http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_...0equation1.JPG



http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/35989.jpg

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_angle.jpg



http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_...ondary%203.JPG

http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_...ondary%202.JPG










http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36170.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36171.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36172.jpg






http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36338.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36339.jpg




http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36395.jpg


http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36396.jpg
http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36397.jpg



تــــــــــابــــــــــــــــــع

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36492.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36531.jpg
http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36532.jpg







http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36510.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36572.jpg






http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36624.jpg




أوجد قطر نصف الدائرة المرسومة داخل المثلث أ ب ج بالشكل

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36877.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38122.gif

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38123.jpg





أب جـ د متوازى اضلاع فية أ(5, 3), ب(3, 2) ,جـ (0 ,2) فاوجد احداثيات نقطة د

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38250.jpg


نفرض أن احداثى نقطة د هى : س ، ص

ميل ب أ = [3 - 2]/[5 - 3] = 1/2
ميل ج د = [ص - 2]م[س - 0] = (ص - 2)/س
وحيث ميل ج د = ميل ب أ
(ص - 2)/س = 1/2
2 ص - 4 = س

طول ب أ = جذر[(5 - 3)^2 + (3 - 2)^2] = جذر5
طول ج د = جذر[(س - 0)^2 + (ص - 2)^2 = جذر[س^2 + ص^2 - 4 ص + 4]
وحيث طول ج د = طول ب أ
وبالتعويض عن قيمة س بدلالة ص
(2 ص - 4)^2 + ص^2 - 4 ص + 4 = 5
5 ص^2 - 20 ص + 15 = 0
ص = 3 أو ص = 1
وحيث : 2 ص - 4 = س
عند ص = 3 ــــــــــــــــ> س = 2
عند ص = 1 ــــــــــــــــ> س = -2
فتكون نقطة د : إما (2 ، 3) أو (- 2 ، 1)

فى حالة د : (2 ، 3)
ميل ج د = (3 - 2) / (2 - 0) = 1/2
فى حالة د : (- 2 ، 1)
ميل ج د = (1 - 2) / (2 - 0) = - 1/2
وحيث أن ميل ج د = ميل ب أ = 1/2
فتكون النقطة د : (2 ، 3)

لتحقيق الشرطان الآخران : أ د يساوى ويوازى ب ج

طول ب ج = جذر[(0 - 3)^2 + (2 - 2)^2] = جذر9 = 3
ميل ب ج = (2 - 2)/(0 - 3) = 0 ... موازى لمحور السينات

عند د : (2 ، 3)
طول أ د = جذر[(2 - 5)^2 + (3 - 3)^2] = جذر9 = 3
ميل أ د = (3 - 3)/(2 - 5) = 0

عند د : (- 2 ، 1)
طول أ د = جذر[(- 2 - 5)^2 + (1 - 3)^2] = جذر 53
ميل أ د = (1 - 3)/(- 2 - 5) = 2/7

فتكون النقطة د التى تحقق الشروط هى : (2 ، 3)

تنويه :

يوجد للنقطة د ثلاث احتمالات :

الأولى : (2 ، 3)
تحقق الشروط الأربعة ، وتكون هى الرأس الرابع لمتوازى الأضلاع

الثانية : (- 2 ، 1)
وهى تحقق الشرطان الأولان فقط :
"ج د توازى وتساوى ب أ" ، إلا فى حالة اعتبار الاتجاهات حيث تقع على الجانب الآخر للضلع ب ج
وهى الموجودة فى طريقة الحل السابقة حيث ابتدأنا بتحقيق الشرطان الأولان

الثالثة : (8 ، 3)
وهى تحقق الشرطان الأخيران فقط :
"أ د توازى وتساوى ب ج" إلا فى حالة اعتبار الاتجاهات حيث تقع على الجانب الآخر للضلع ب أ
وهى تنتج فى حال الحل بالبدء فى تحقيق الشرطان الأخيران


حل بسيط فى مستوى طالب المرحلة الاعدادية :

قطرى متوازى الأضلاع أ ج ، ب د يتقاطعان فى نقطة تنصف كلا منهما

احداثى نقطة تقاطع القطران :

من حيث أنها منتصف أ ج : [(5 + 0)/2 ، (3 + 2)/2] = [5/2 ، 5/2]

من حيث أنها تنصف ب د : [(3 + س)/2 ، (2 + ص)/2]

إذن :

5/2 = ( 3 + س)/2 ، ومنها س = 2
5/2 = (2 + ص)/2 ن ومنها ص = 3

فتكون نقطة د هى : (2 ، 3)





http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38294.jpg






http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38295.jpg





http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_...ndary%2020.JPG

من المعلوم أن من خصائص المثلث المتساوى الأضلاع ما يلى :

زوايا رءوسه متساوية ، وقياس كل منها = 60 درجة

الأعمدة المقامة من رءوس المثلث على الأضلاع المناظرة تنصفها ، وفى نفس الوقت تنصف زاوية الرأس

وبالتالى تكون منصفات زوايا الرأس هى ارتفاعات المثلث وفى نفس الوقت هى منصفات الأضلاع

وعلى ذلك تكون نقطة التقاطع واحدة للجميع وهى مركز المثلث

ومن المعلوم أن مركز الدائرة الداخلية للمثلث هى مركز تقابل منصفات زواياه ، ويكون البعد بين مركز الدائرة وأضلاع المثلث متساوية وتساوى نصف قطر الدائرة الداخلية

مركز المثلث المتساوى الأضلاع يقسمه الى ثلاث مثلثات متطابقة : م أ ب ، م ب ج ، م أ ج


ولحل التمرين ، توجد عدة طرق :


باستخدام النتيجة (مباشرة ):
نصف قطر الدائرة الداخلية لأى مثلث = مساحة المثلث ÷ نصف محيط المثلث

مساحة المثلث = 1/2*(ب ج)*(أ د) = 1/2*(ب ج)*(أ ب).جا60

= 1/2*12*12*جذر3/2 = 36 جذر3 سم^2

نصف محيط المثلث = [(أ ب) + (ب ج) + (ج أ)] ÷ 2 = 18 سم

نق = 36 جذر3 / 18 = 2 جذر3 سم


باستخدام برهان النتيجة السابقة فى حل التمرين :

العمل :
نصل مركز الدائرة الداخلية ( وهى مركز المثلث المتساوى الأضلاع ) برءوس المثلث : م أ ، م ب ، م ج

ينقسم المثلث أ ب ج الى ثلاثة مثلثات داخلية متطابقة : م أ ب ، م ب ج ، م ج أ

قاعدة كل مثلث = طول ضلع المثلث
ارتفاع المثلث = نصف قطر الدائرة الداخلية = نق

مساحة المثلث أ ب ج = 3*مساحة أحد المثلثات الداخلية

مساحة المثلث = 1/2*قاعدة المثلث*ارتفاعه

مساحة المثلث أ ب ج = 1/2*(ب ج)*(أ د) = 36 جذر3

مساحة أحد المثلثات الداخلية المتطابقة = 1/2*12*نق = 6 نق

إذن : 36 جذر3 = 3*6*نق ـــــــــــــــ> ومنه نق = 2 جذر3 سم


باستخدام خصائص المثلث الثلاثينى الستينى ، والنسب المثلثية :

المثلث م أ و :

أ و = 1/2*(أ ب) = 6 سم
م و = نق
زاوية م أ و = نصف زاوية الرأس أ = 30 درجة

م و تقابل الزاوية 30 درجة فى المثلث القائم م أ و
فيكون : م أ = 1/2 الوتر م أ

م أ = 2*نق

جتا(م أ و) = و أ / م أ
جتا30 = 6 / 2 نق = 3 / نق = جذر3 / 2
جذر3*نق = 6 = 3*2 ـــــــــــــــــــ> ومنها : نق = 2 جذر3 سم


باستخدام خصائص المثلث الثلاثينى الستينى ، ونظرية فيثاغورث :


المثلث م أ و :

أ و = 1/2*(أ ب) = 6 سم
م و = نق
زاوية م أ و = نصف زاوية الرأس أ = 30 درجة

م و تقابل الزاوية 30 درجة فى المثلث القائم م أ و
فيكون : م أ = 1/2 الوتر م أ

م أ = 2*نق

(م أ)^2 = (و أ)^2 + (م و)^2

(2*نق)^2 = (6)^2 + (نق)^2

3*نق^2 = 6^2

جذر3*نق = 6 = 3*2 ـــــــــــــــــــ> ومنها : نق = 2 جذر3 سم






http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38331.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38332.jpg


أ ب ج د متوازي أضلاع وَ هـ نقطة على امتداد ب ج

المستقيم (أ هـ) يقطع [ب د] في س و يقطع [ج د] في ص

برهن أن :

هـ س^2 - أ س^2 = هـ س×هـ ص

http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_...ndary%2021.JPG










http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38416.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38417.jpg




http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38420.jpg

نفرض أن طول ضلع المربع = 2 ل

نرسم محورين متعامدين من منتصفات أضلاع المربع يتقاطعان فى مركز المربع و ، ويقسم المربع الى 4 مربعات صغيرة متطابقة - محورى التماثل

الجزء المحصور للنجمة فى كل ربع متماثلة

تم تكبير ربع المربع وبداخله الجزء المحصور من النجمة

العمل :

نصل ب ج
نقيم من نقطة م عمودين : م ى على و ب ، م ف على و ج

خطوات الاثبات :

ج د ، ب هـ متوسطان فى المثلث ج ب و ويتقاطعان فى نقطة م التى تقسم كل متوسط بنسبة 2 : 1 من جهة رأس المثلث

إذن :

ب م / ب هـ = ج م / ج د = 2/3

المثلثان القائمان الزاوية و : ب هـ و ، ج د و متطابقان ،

وينتج أن :

ب هـ = ج د ، زاوية و ب هـ = زاوية و ج د

ب م= 2/3 ب هـ ، ج م = 2/3 ج د ـــــــــ> ب م = ج م

المثلثان القائمان الزاوية ب م ى ، ج م ف متطابقان
حيث ب م = ج م ، زاويتى ى ، ف قائمتين ، زاوية م ب ى = زاوية م ج ف

وينتج أن : م ى = م ف ــــــــــ> الشكل م ى و ف مربع

فى المثلث ب و هـ : م ى توازى القاعدة هـ و ، ب م / ب هـ = 2/3

إذن

م ى / هـ و = 2/3 ــــــــــــ> م ى = 2/3*ل/2 = ل/3

الجزء من النجمة المحصور داخل ربع المربع يتكون من :

المربع م ى و ف + المثلث ب م ى + المثلث ج م ف

مساحة المربع م ى و ف = (ل/3)^2 = ل^2 / 9

مساحة المثلث ب م ى = مساحة المثلث ج م ف = 1/2*2ل/3*ل/3 = ل^2 / 9

مساحة الجزء المحصور للنجمة = ل^2 /9 + 2*ل^2 /9 = ل^2 /3

مساحة النجمة = 4*ل^2 /3

مساحة الربع للمربع = ل^2

مساحة المربع = 4*ل^2

مساحة النجمة الى مساحة المربع = 1/3



تــــــــــابــــــــــــــــــع

أ ب ج د متوازي أضلاع مركزه هـ .

لتكن النقط : س ; ص ; ع ; ل تنتمي على التوالي للأضلاع [ا ب] ; [ب ج] ; [ج د] ; [د ا]
بحيث : ا س = ب ص = ج ع = د ل

ــ بين أن الرباعي س ص ع ل متوازي أضلاع مركزه هـ .

http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_...apratory71.JPG



http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38484.jpg








http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38500.jpg





http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38519.jpg






http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/38670.jpg









http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39500.jpg










http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39651.jpg



تــــــــــابــــــــــــــــــع

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39652.jpg



http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39804.jpg




http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39925.jpg




http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40015.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40016.jpg







http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40167.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40168.jpg


http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40200.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40201.jpg




http://www.jeddmath.com/vb/images/icons/icon1.gif 11-30-2009, 02:37 PM








http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40470.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40471.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40473.jpg




http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40564.jpg

تــــــــــابــــــــــــــــــع

ششششششششششششككككرا لكم بسسس ماستفدت شششششي :t2641:

جزاكم الله كل خير