سأقوم بإثبات قاعدة لحساب النسبة بين مساحتى مثلثين النسبة بين أضلاعهما غير متساوية
ولنقوم بتطبيقها فى حل التمرين
الحل بالتفصيل :
العمل :
نمد المنصف د ص للزاوية أ د ب ليقابل محيط الدائرة فى م
نمد المنصف د س للزاوية أ د ج ليقابل محيط الدائرة فى هـ
نصل م ج ، هـ ب
الاثبات :
القوس ب د = القوس د ج
فتكون الزوايا المحيطية لكلا القوسين متساوية
زاوية د ب ج = زاوية د ج ب = زاوية ب أ د = زاوية ج أ د
إذن : أ د منصف للزاوية ب أ ج
زاوية أ ب ج = زاوية أ د ج ... ، ( محيطيتان للفوس أ ج )
زاوية أ د هـ = زاوية ج د هـ ، حيث هـ د منصف للزاوية أ د ج
زاوية أ ب هـ = زاوية أ د هـ ... ، ( محيطيتان للقوس أ هـ )
زاوية ج ب هـ = زاوية ج د هـ ... ، ( محيطيتان للقوس ج هـ )
إذن : هـ ب منصف للزاوية أ ب ج
وبالمثل
زاوية أ ج ب = زاوية أ د ب ... ، ( محيطيتان للقوس أ ب )
زاوية أ د م = زاوية ب د م ، حيث م د منصف للزاوية أ د ب
زاوية أ ج م = زاوية أ د م ... ، ( محيطيتان للقوس ا م )
زاوية ب ج م = زاوية ب د م ... ، ( محيطيتان للقوس ب م )
إذن : م ج منصف للزاوية أ ج ب
منصفات الزوايا للمثلث أ ب ج تتقاطع فى نقطة و
( ملحوظة : و لا تنتمى الى القطعة المستقيمة ص س )
نصل ص و ، س و
فى المثلث ص ب ب1
زاوية ص ب1 ب خارجة عن المثلث ب1 ب د
زاوية ص ب1 ب = زاوية ب1 د ب + زاوية ب1 ب د
زاوية ب ص ب1 خارجة عن المثلث د ص أ
زاوية ب ص ب1 = زاوية ص د أ + زاوية ص أ د
وحيث : زاوية ب1 د ب = زاوية ص د أ ، زاوية ب1 ب د = زاوية ص أ د
إذن :
زاوية ص ب1 ب = زاوية ب ص ب1
زاوية ب ص ب2 = زاوية ب ب1 ب2 = 90 درجة
ويكون : ب و عمودى على د ص
المثلثان د ب ب2 ، د و ب2 متطابقان
حيث : د ب2 مشترك ، زاوية ب د ب2 = زاوية و د ب2 ، زاوية د ب2 ب = زاوية د ب2 و = 90 درجة
فيكون : ب ب2 = ب2 و
المثلثين ب ص ب2 / و ص ب2 متطابقين
حيث : ص ب2 مشترك ، ب ب2 = ب2 و ، زاوية ب ب2 ص = زاوية و ب2 ص = 90 درجة
فيكون : زاوية ب ص ب2 = و ص ب2
وحيث : زاوية ب ص ب2 = زاوية ب ب1 ص
إذن : زاوية و ص ب1 = زاوية ب ب1 ص
وهما زاويتان متساويتان بالتبادل للقاطع ص ب1 للقطعتين المستقيمتين ص و ، ب ج
ويكون : ص و يوازى ب ج
وأترك للطالب الاستكمال بنفس الخطوات
حيث
زاوية س ج1 ج خارجة عن المثلث د ج1 ج فتساوى ...
زاوية ج س ج1 خارجة عن المثلث أ س د فتساوى ...
وهكذا لاستكمال الخطوات للوصول الى أن س و توازى ج ب
فيكون : ص و س على استقامة واحدة وتوازى ب ج
أ ب ج د مستطيل ، على الضلعين [أ ب] و [ج د] نضع على التوالي النقطتين س وَ ص بحيث يكون الرباعي أ س ج ص معيّن
أحسب طول الضلع [س ص] ، إذا كان : أ ب = 16 وَ ب ج = 12
المثلثان أ ج هـ ، ب ج د متطابقان ، ( ضلعان وزاوية محصورة )
حيث :
أ ج = ب ج
ج هـ = ب د
زاوية أ ج هـ = زاوية ب ج د
وينتج أن :
زاوية ج أ هـ = زاوية ج ب د
زاوية ج هـ أ = زاوية ج د ب
وبذلك تكون :
زاوية ج أ م = زاوية ج ب م ــــــــ> الشكل أ ب م ج رباعى دائرى
زاوية ج هـ م = زاوية ج د م ـــــــ> الشكل د هـ م ج رباعى دائرى
تــــــــــابــــــــــــــــــع